	
\documentclass{article} % 文档类别: article, report, book, letter, 等等
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz}
\title{第一章习题}
\author{阿路}
\date{\today} % 使用当前日期，也可以指定特定日期

\begin{document}

	\maketitle % 创建标题页
	
	\section{引言}
	
	泛函分析导论及应用(中文版）Erwin+Kreyszig.pdf第一章
	\section{第一章}
	
	度量空间。
	
	\subsection{问题}
	
	在实数集合上，
		\begin{equation}
		d(x, y) = (x - y)^2
	\end{equation}
	能定义一个度量吗？。
		\subsection{解答}
	
	解答：在实数集合上，d需要满足M4 
	\begin{equation}
		d(x, y) \leq d(x, z) + d(y, z)
	\end{equation}
	才能定义一个度量。\\
	计算这种条件的满足情况

		 k = d(x, z) + d(y, z) - d(x,y) \newline
	\begin{equation}
		 = (x - z)^2 + (y - z)^2 - (x - y)^2 \\
		 	\end{equation}
		 	\begin{equation}
		 = (x - z)^2 + (2y - z -x )(x-z) \\
		 	\end{equation}
		 = (x - z)(2y - 2z) \\
		 = 2(x - z)(y - z)	\\	 

	如果满足度量，则需要 
\[ k > 0 \]
	即满足\[ (x - z)(y - z) > 0 \]
	一种典型情况是\[x > z \]并且\[ y > z \]
	例外情况包括\[ x < z \]并且 \[y > z \]这种情况下无法满足度量空间的M4条件，
	这种情况下，不满足M4条件，出现了如下违反M4条件的情况
		\begin{equation}
		d(x, y) > d(x, z) + d(y, z)
	\end{equation}
	举例x=1, y = 3, z = 2
	这时 d(x, y) = 4, d(x, z) = 1, d(y, z) = 1
	因而
		在实数集合上，
	\begin{equation}
		d(x, y) = (x - y)^2
	\end{equation}
	不能定义一个度量。
	注意：\\\[d(x, y) = |(x -y)|\]这是度量。 \\
	考察\[d(x,y) = (x - y)^3\]的情况 \\
	那么多次方的都是不满足度量的场景的
	但是定义绝对值作为度量是可以的，
	定义\[d(x,y) = \sqrt(|(x -y )|)\]也是可以的，比1小的绝对值根都可以作为度量。\\
	上述证明的一个几何例子如下，\\
	\\
	\begin{tikzpicture}
		% 画直线
		\draw (0,0) -- (5,0);
		
		% 画点
		\fill (1,0) circle (2pt) node[below] {$x$};
		\fill (3,0) circle (2pt) node[below] {$z$};
		\fill (4,0) circle (2pt) node[below] {$y$};
		  % 添加距离标签
		\draw[dashed] (1,0) -- node[above] {$d(x,z)$} (3,0);
		\draw[dashed] (2,0) -- node[above] {$d(y,z)$} (5,0);
		\draw[dashed] (1,-0.5) -- node[below] {$d(x,y)$} (4,-0.5);

	\end{tikzpicture}\\
	度量d不能是形如\[(x-y)^N, (N \geq 2)\]这种方式，这样构建的不是度量空间，而是非度量空间。违反阿基米德公理，属于泛函分析研究之外的内容。

	
\end{document}

